軌跡例題とイメージの掴み方

こんにちは、みしゅたです。今日は昨日に引き続き、軌跡について書いていこうと思っています。昨日は軌跡をとく上で基本となるイメージ、つまり式の意味について説明しました。今日は実際どうやってそのイメージを膨らましていくのかについて書いていこうと思います。

座標平面上に定点A (2.0)、B(4.0)と円C；X^2+Y^2=9がある。動点Pが円C上にあるとき、点A,B,Pを頂点とする三角形ABPの重心Gの軌跡を求めよ。

Focus Gold 177Pより出典

ここで考えてみましょう。点A,Bは固定されています。

Pが円状に動くわけですよ、座標平面での三角形の重心の求め方はなんでしょうか。

全ての頂点の座標を足して、３で割りますよね。

このとき、他二つの点が固定されていて、あとひとつが円状に動くなら、軌跡が円のように始まりの点に戻ってくる軌跡が描かれそうだな。無限大に飛んでいくことは無さそうだなと、判断ができるでのでは無いでしょうか。

ここで円のような軌跡になるなと判断ができたら、楕円か円の形になるので、2乗＋2乗の形に持っていけば、いいと判断してから問題をとき始めましょう。

tが実数値を取って変化するとき、P(t+2 ,2t^2-3)はどのような軌跡を描くか。

出典Forcus Gold 178P

さて次の問題です。

今回XはtをふやすとXは無限に大きくなります。じゃあYはどうでしょう。同じように無限に大きくなるのが分かりますか。

つまり、xが大きい範囲では右肩上がりのグラフになりますね。

こんどはxについてtを減らしていきましょう。

どんどん減っていきますね。

Yについてどんどんへらしていきます。

こんどは増えていくのがわかりますか？そしてその境界線は１と２の間にありますよね。分からない人は実際に数字をいれてみるといいですよ。

つまりこういうことです。

グラフは

１より小さいとき

Tの増加→Xは増加、Yは減少

２より大きいとき

Tの増加→Xは増加、Yも増加

なんとなく形が見えてきましたか？

Xが増え続けるのに対してYは減少ののち増加

二次関数に見えませんか？

ここで初めて文字を消す、つまりtを消す作業に入ってください。

簡単な問題ならば、文字を消すだけで速く解けるのですが難しくなるとこのイメージが大きな役割を果たします。

ぜひマスターしてくださいね！

今日の記事はここまでです。最後までありがとうございました。

次回、図形にしようかと思っています。

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